on note \(v(P)\) \(:=\inf_{\{g=0\}\cap\{h\leqslant 0\} }f\) la valeur du problème primal
on peut définir un Lagrangien pour ce problème : $$\mathcal L:\begin{align} U\times D&\longrightarrow{\Bbb R}\\ (x,\alpha)&\longmapsto f(x)+\langle{\alpha,c(x)}\rangle \end{align}$$ avec \(c:x\mapsto(g(x),h(x))\), de manière à avoir \(\langle{\alpha,c(x)}\rangle =\langle{\lambda,g(x)}\rangle +\langle{\mu,h(x)}\rangle \) si \(\alpha=(\lambda,\mu)\)
on pose \((G_*(\alpha),G_*(x)):=\) \((\inf_{x\in U}\mathcal L(x,\alpha),\sup_{\alpha\in D}\mathcal L(x,\alpha))\)
on a alors \(G^*(x)=\) \(\begin{cases} f(x)&\text{si}\quad x\in\{g=0\}\cap\{h\leqslant0\}\\ +\infty&\text{sinon.}&\end{cases}\) et \(v(P)=\) \(\inf_U G^*\)
Résolution du Problème dual à partir du problème primal :
\(x_*\) est solution de \((P)\)
\(\exists\alpha_*\in D\) tq $$\partial_x\mathcal L(x_*,\alpha_*)=0\quad\text{ et }\quad\langle{\mu_*,h(x_*)}\rangle =0$$(conditions de KKT)
